カストロールの化学合成油がいちばんいいです。
（もうありませんが20年以上前から化学合成油カストロールシントロンを使って現在に至ります。）

パーツリスト、サービスマニュアルにも、Kawasaki純正オイルまたはカストロールオイルと指示されています。

カワサキの純正が一番無難ではないでしょうか。私は今ホームセンターで売っている１リットル５００円位のオイルを使ってますが、３４年経った今でも絶好調です。下手に高くて粘土の違うオイルを入れるより、10W-40のオイルを入れた方が良かったです。あまりこだわらないで、粘土を気にすれば良いと思います。このエンジンは強いです。

純正は高い。純正は、21世紀の精密な未来のマシン開発に対応したオイル。
FXは昭和の汲取式の時代のマシン。

このオイルがおすすめです。
http://item.rakuten.co.jp/ohv-carkichi/13008?s-id=sd_browsehist_search

私も何を入れてよいか悩んで、カワサキのお客様相談室に電話して確認した経緯がありますのでお伝えします。
当時のオイルのランクが現在カワサキにも作ってないようで、現在の良い物を使用するとオイル自体の粒子？が細かくオイルシールから滲みなど起こしてしまうことがあるようです。しかしエンジンのことを考えると良い物を入れたほうがエンジンには良いそうです。との回答で何を入れて良いと言う事ははっきりとは言えないという回答でした。
私はそこで定期的に変えようとおもい安いシェブロンの１０ｗ−４０を使用しています。数回オイル交換を行っていますが全然問題もおきません。滲みも全然ありません。
参考になると良いのですが。

私もシェブロン入れてますがバッチシです。あんまり距離乗らないので毎回交換時はフラッシング状態ですが・・・そもそもアメリカでは60〜80年代の雑なクリアランスの車に入れる用のオイルなので時代的にもバッチシっす。アメリカではガソリンもオイルも日本では考えられないくらい安いので、リッター300円でも倍です。あまりの安さに、添加剤をいろいろ試してみましたがこれはまたこれでいい結果の物も有ったりといろいろ遊べます。